将军饮马
抽象成数学作对称点连成直线为什么最短方法与应用
—— 最短路径 · 化折为直 ——
01
1抽象成数学
河岸 l A 军营 B 帐篷 P
在河边找一点 P
抽象成数学

军营 A、帐篷 B 在河岸同侧

河边找一点 P

求 PA + PB 最短
02
2作对称点
河岸 l A A′
A 关于河岸的对称点 A′
作对称点

作 A 关于河岸 l 的对称点 A′

河边任一点到 A、到 A′ 距离相等

PA = PA′
03
3连成直线
河岸 l A B A′ P
交点就是最优的 P
连成直线

连接 A′ 与 B

与河岸的交点就是 P

P = A′B ∩ l
04
4为什么最短
河岸 l A B A′ P PA + PB = A′P + PB ≥ A′B
三点共线时最短
化折为直

PA = PA′，折线拉直

A′、P、B 三点共线时

PA + PB 最小 = A′B
05
5方法与应用
正方形中 坐标系中 x M N M′
通用方法

找定直线 → 作对称点 → 连直线

正方形、坐标系同理

化折为直
06
6总结
化折为直
作对称点，把折线拉成直线
本章小结

作对称：把一个点翻到定直线另一侧

连直线：对称点连另一点，交定直线得最优点

两线段和最短 = 对称点到另一点的距离

A
定点
⇋
对称
╱
连直线
min
最短
八年级数学·最短路径